こんにちは、今日は久々に珈琲に砂糖入れて飲んでみたら、最初の1口2口目はおいしかったですが後半ちょっとしんどくなっためいりです。ダイエット期間中はブラックオンリーだったのでブラックに慣れてしまったようです。ちょっと前までは砂糖2本入れていたのに。。。
今回はQC検定の本番に向けて、めいりが苦手とする「検定と推定」で使用する式～計量値編～をまとめてみました。
計量値の検定と推定
(1)母集団の平均\( \mu_0\)に関する検定
①母集団の分散\(\sigma^2\)が既知の場合
母集団の平均値\( \mu_0\)、母集団の分散\( \sigma^2\)、サンプルの大きさn、標本の平均値\(\overline{x}\)とすると、
統計量の分布：標準正規分布
検定統計量：
$$ z_0=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} $$
点推定：\( \hat{\mu}=\overline{x}\)
信頼率95%の区間推定：
$$ \overline{x} \pm z(0.025)\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$
②母集団の分散\( \sigma^2\)が未知の場合
母集団の平均値\(\mu_0\)、サンプルの大きさn、標本の平均値\(\overline{x}\)、不偏分散V、自由度\(\phi=n-1\)とすると、
統計量の分布：t分布
検定統計量：
$$ t_0=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sqrt{\frac{V}{n}}} $$
点推定：\( \hat{\mu}=\overline{x}\)
信頼率95%の区間推定：
$$ \overline{x} \pm t(\phi , 0.05)\sqrt{\frac{V}{n}} $$
(2) 分散に関する検定
①1つの母分散に関する検定（母分散\(\sigma^2\)が既知）
母分散\(\sigma^2\)、平方和S、不偏分散V、サンプルの大きさn、自由度\(\phi=n-1\)とすると
統計量の分布：\(\chi^2\)分布
検定統計量：
$$ \chi_0^2=\frac{S}{\sigma^2} $$
点推定：
$$ \hat{\sigma}^2=V=\frac{S}{n-1} $$
信頼率95%の区間推定：
上限：
$$ \sigma_U^2=\frac{S}{\chi^2(\phi,0.975)} $$
下限：
$$ \sigma_L^2=\frac{S}{\chi^2(\phi,0.025)} $$
②二つの母分散の比に関する検定
不偏分散V、平方和S、サンプルの大きさn、自由度を\(\phi\)とすると、
統計量の分布：F分布
検定統計量：
$$ F_0=\frac{V_1}{V_2}$$
ただし\( V_1 >V_2, F_0>1\)になるようにする。
ここで
$$ V=\frac{S}{\phi}=\frac{S}{n-1} $$
で求められる。
(3)母平均\(\mu_1\)と母平均\(\mu_2\)の差に関する検定
①母分散が既知の場合
母分散\(\sigma^2\)、標本平均値\(\overline{x}\)、サンプルの大きさnのとき、
統計量の分布：標準正規分布
検定統計量：
$$ Z_0=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} $$
点推定： \( \hat{\mu_1}-\hat{\mu_2}=\overline{x_1}-\overline{x_2} \)
信頼率95%の区間推定：
$$ (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm Z(0.025)\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}} $$
②母分散が未知の場合
母分散\(\sigma^2\)、標本平均値\(\overline{x}\)、不偏分散V、サンプルの大きさn、自由度\(\phi\)とすると、
(i)\( \sigma_1^2=\sigma_2^2\)の場合
統計量の分布：t分布
検定統計量：
$$ t_0=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{V(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}} $$
ここで
$$ V=\frac{S_1+S_2}{n_1+n_2-2} $$
点推定：\( \hat{\mu_1}-\hat{\mu_2}=\overline{x_1}-\overline{x_2} \)
信頼率95%の区間推定：
$$ (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm t(\phi,0.05)\sqrt{V(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})} $$
(ii) \(\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\)の場合
統計量の分布：t分布（近似）
検定統計量：
$$ t_0=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}+\frac{V_2}{n_2}}} $$
点推定：\( \hat{\mu_1}-\hat{\mu_2}=\overline{x_1}-\overline{x_2} \)
信頼率95%の区間推定：
$$ (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm t(\phi ,0.05)\sqrt{\frac{V_1}{n_1}+\frac{V_2}{n_2}} $$
計量値だけでもこんなにもあるんですね。。。そりゃ覚えきれないわけだ。。。
計数値編は次回へ
めいり
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